Question

9．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为线段CD上的动点，设$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{OB}$+β$\overrightarrow{OD}$，则α+β的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{2}{3}$，2]
• B． [0，$\frac{2}{3}$]
• C． [1，2]
• D． [$\frac{2}{3}$，1]

Answer 1

分析 先建立以O为原点，以OD所在直线为x轴的直角坐标系，根据条件求出点P的坐标与α，β之间的关系；再根据点P的位置，借助于可行域即可求解．

解答 解：以O为原点，以OD所在直线为x轴建立直角坐标系，
设点P（x，y），∵$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{OB}$+β$\overrightarrow{OD}$，
则（x，y）=α（1，1）+β（3，0）=（α+3β，α）．
所以，$\left\{\begin{array}{l}x=α+3β\\ y=α\end{array}\right.$，∴α+β=$\frac{1}{3}$（x+2y）．
由于点P为线段CD上的动点，目标函数为α+β=$\frac{1}{3}$（x+2y）．
，如图所示，
当点P为点D（3，0）时，α+β=$\frac{1}{3}$（x+2y）取得最大值，其最大值为：1，
当点P为点C（0，1）时，α+β=$\frac{1}{3}$（x+2y）取得最小值，其最小值为：$\frac{2}{3}$，

故选：D．

点评 本题主要考查相等向量以及线性规划的简单应用问题，是对知识点的综合考查，属于综合性题目．