Question

如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角）．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是（　　）

• A、

  30

  5

• B、

  30

  10

• C、

  4 3

  9

• D、

  5 3

  9

Answer 1

考点：正弦定理,解三角形的实际应用

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：在直角三角形ABC中，由AB与AC的长，利用勾股定理求出BC的长，过P作PP′⊥BC，交BC于点P′，连接AP′，利用锐角三角函数定义表示出tanθ=

PP′

AP′

，设BP′=m，则CP′=20-m，利用锐角三角函数定义表示出PP′，利用勾股定理表示出AP′，表示出tanθ，即可确定出tanθ的值．

解答： 解：∵AB=15cm，AC=25cm，∠ABC=90°，
∴BC=20cm，
过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=

PP′

AP′

，
设BP′=x，则CP′=20-x，
由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=

3

3

（20-x），
在直角△ABP′中，AP′=

225+x2

，
∴tanθ=

3

3

•

20-x

225+x2

，
令y=

20-x

225+x2

，则函数在x∈[0，20]单调递减，
∴x=0时，取得最大值为

20 3

45

=

4 3

9

，
若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=

3

3

（20+x），
在直角△ABP′中，AP′=

225+x2

，
∴tanθ=

3

3

•

20+x

225+x2

，
令y=

(20+x)2

225+x2

，则y′=0可得x=

45

4

时，函数取得最大值

5 3

9

，
则tanθ的最大值是

5 3

9

．

点评：此题考查了正弦定理，锐角三角函数定义，以及解三角形的实际应用，弄清题意是解本题的关键．