Question

6．设n≥2，且n∈N^*，证明：（1+$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{5}$）（1+$\frac{1}{7}$）…（1+$\frac{1}{2n-1}$）＞$\frac{\sqrt{2n+1}}{2}$．

Answer 1

分析 直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=1时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥1）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．

解答 证明：（1）当n=2时，不等式左边=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{\sqrt{64}}{6}$，不等式右边=$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{6}$=$\frac{\sqrt{45}}{6}$，不等式成立，
（2）假设n=k时，不等式成立，即：（1+$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{5}$）（1+$\frac{1}{7}$）…（1+$\frac{1}{2k-1}$）＞$\frac{\sqrt{2k+1}}{2}$，
那么当n=k+1是，即（1+$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{5}$）（1+$\frac{1}{7}$）…（1+$\frac{1}{2k-1}$）（1+$\frac{1}{2k+1}$）＞$\frac{\sqrt{2k+1}}{2}$•（1+$\frac{1}{2k+1}$）=$\frac{\sqrt{2k+1}}{2}$•$\frac{2k+2}{2k+1}$=$\frac{k+1}{\sqrt{2k+1}}$，
∵（2k+1）（2k+3）＜4（k+1）²，
∴$\sqrt{2k+1}$•$\sqrt{2k+3}$＜2（k+1），
∴$\frac{k+1}{\sqrt{2k+1}}$＞$\frac{\sqrt{2k+3}}{2}$，
∴当n=k+1时，不等式也成立，
根据（1）（2）可得不等式对所有的n≥2都成立．

点评 本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．