Question

15．在锐角三角形ABC中，角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，若b²=ac，则cosB的取值范围为[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）．

Answer 1

分析 再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围即可．

解答 解：在锐角三角形ABC中，若b²=ac，
则cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
①若a=c，则cosB=$\frac{1}{2}$，此时满足条件．
②若a≠c，不妨设a＞c，则A为最大角，
则cosA＞0，得出cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{ac+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$＞0，
即ac+c²-a²＞0，
则（$\frac{c}{a}$）²+$\frac{c}{a}$-1＞0，
则$\frac{c}{a}$＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{c}{a}$＜$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍），
即$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜$\frac{c}{a}$＜1，
则cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$-1）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{\frac{c}{a}}$+$\frac{c}{a}$-1），
设t=$\frac{c}{a}$，则$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜t＜1，
则cosB=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$-1）在$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜t＜1上为减函数，
在当t=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时，$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$-1）=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$+$\frac{2}{\sqrt{5}-1}$-1）=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
当t=1时，$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$-1）=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}$＜cosB＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，综上$\frac{1}{2}$≤cosB＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）

点评 此题考查了余弦定理，以及基本不等式的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．