Question

7．过点（-4，0）的曲线y=$\sqrt{x}$的切线与两坐标所围成三角形的面积为8．

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用导数的几何意义求出曲线的切线方程，结合三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
设切点为（m，$\sqrt{m}$），（m≥0），
则切线斜率k=f′（m）=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$，
则对应的切线方程为y-$\sqrt{m}$=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$（x-m），
∵切线过点（-4，0），
∴-$\sqrt{m}$=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$（-4-m），
即-2m=-4-m，
则m=4，
即切线方程为为y-2=$\frac{1}{4}$（x-4），
即x-4y+8=0，
令x=0，y=2，
令y=0，x=-8，
则切线与坐标轴的交点坐标为（0，2），（-8，0），
则对应的面积S=$\frac{1}{2}×2×8$=8，
故答案为：8．

点评 本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和直线的方程等基本知识．根据导数的几何意义求出切线方程是解决本题的关键．