Question

12．已知若z₁、z₂是非零复数，且|z₁+z₂|=|z₁-z₂|．求证：$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$是纯虚数．

Answer 1

分析 设$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=a+bi，其中a，b∈R，可得z₁=z₂（a+bi），代入已知式子变形可得a=0，可得纯虚数．

解答 证明：设$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=a+bi，其中a，b∈R，
∴变形可得z₁=z₂（a+bi），
∴|z₁+z₂|=|z₂||（1+a）+bi|
∴|z₁-z₂|=|z₂||（1-a）+bi|
∵|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，
∴|z₂||（1+a）+bi|=|z₂||（1-a）+bi|，
∴|（1+a）+bi|=|（1-a）+bi|，
∴（1+a）²+b²=（1-a）²+b²，
解得a=0，故$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$是纯虚数

点评 本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的基本概念，属中档题．