Question

5．设函数f（x）=Asin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（-l，1），且0＜φ＜π，f（$\frac{π}{2}$）=-2，则φ=$\frac{3π}{4}$，A=2$\sqrt{2}$，f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的单调减区间为[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]．

Answer 1

分析 由条件利用任意角的三角函数的定义，正弦函数的图象，正弦函数的单调性，得出结论．

解答 解：函数f（x）=Asin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（-l，1），
且0＜φ＜π，则tanφ=$\frac{1}{-1}$=-1，∴φ=$\frac{3π}{4}$．
再根据f（$\frac{π}{2}$）=Asin（π+$\frac{3π}{4}$）=-Asin$\frac{3π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$A=-2，∴A=2$\sqrt{2}$．
∴f（x）=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{3π}{4}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z．
结合x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，可得减区间为[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]，
故答案为：$\frac{3π}{4}$；2$\sqrt{2}$；[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，正弦函数的图象，正弦函数的单调性，属于基础题．