Question

20．已知数列$\left\{{a_n}\right\}，{a_1}=1，{a_{n+1}}=（{1+\frac{1}{{{n^2}+n}}}）{a_n}+\frac{1}{2^n}$，求证：
（1）a_n≥2（n≥2）；
（2）a_n≤e²（n≥1）．

Answer 1

分析 （1）首先利用作差法验证数列是递增数列，求出a₂=2，则答案得证；
（2）利用不等式1+x＜e^x（x＞0）进行证明，n=1，2时明显成立，当n≥3时由不等式1+x＜e^x（x＞0）结合已知数列递推式通过放缩法证明．

解答 证明：（1）由${a_1}=1，{a_{n+1}}=（{1+\frac{1}{{{n^2}+n}}}）{a_n}+\frac{1}{2^n}$，得${a_2}=（{1+\frac{1}{{{1^2}+1}}}）{a_1}+\frac{1}{2}=2$．
则a_n＞0，∴${a_{n+1}}-{a_n}=\frac{1}{{{n^2}+n}}{a_n}+\frac{1}{2^n}＞0$，即数列{a_n}单调递增，
∴a_n≥a₂=2（n≥2）；
（2）利用不等式1+x＜e^x（x＞0）进行证明：
①当n=1，2时，${a}_{n}≤{e}^{2}$显然成立；
②当n≥3时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=1+\frac{1}{（n-1）n}+\frac{1}{{2}^{n-1}{a}_{n-1}}$$≤1+\frac{1}{（n-1）n}+\frac{1}{{2}^{n}}＜{e}^{\frac{1}{（n-1）n}+\frac{1}{{2}^{n}}}$，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=1+\frac{1}{（n-2）（n-1）}+\frac{1}{{2}^{n-2}{a}_{n-2}}$$≤1+\frac{1}{（n-2）（n-1）}+\frac{1}{{2}^{n-1}}$$＜{e}^{\frac{1}{（n-2）（n-1）}+\frac{1}{{2}^{n-1}}}$，
…
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=1+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{{2}^{2}{a}_{2}}≤1+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{{2}^{3}}$$＜{e}^{\frac{1}{2×3}+\frac{1}{{2}^{3}}}$，
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=1+\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2{a}_{1}}$$≤1+\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2}$$＜{e}^{\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2}}$，
将以上各式相乘得${a}_{n}＜{e}^{\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{（n-1）n}+\frac{1}{{2}^{n}}}$
=${e}^{\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{（n-1）n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}}$=${e}^{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}}$
=${e}^{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}}$$＜{e}^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}÷（1-\frac{1}{2}）}$=${e}^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}={e}^{2}$．
综上得原不等式成立．

点评 本题考查数列递推式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，考查了放缩法证明数列不等式，难度较大．