Question

8．已知：$x=\frac{3}{{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}$，则$\sqrt{2}$可用含x的有理系数三次多项式来表示为：$\sqrt{2}$=$-\frac{1}{6}{x^3}+\frac{11}{6}x$．

Answer 1

分析 首先将x分母有理化可得：x=$\sqrt{5}-\sqrt{2}$，又由 $\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$）（ $\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$），然后将其变形求解即可．

解答 解：∵$x=\frac{3}{{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}$=$\sqrt{5}-\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$）（ $\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{3}$（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$）（2+$\sqrt{10}$），
=$\frac{1}{6}$（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$）（4+2 $\sqrt{10}$），
=-$\frac{1}{6}$（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$）[（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$）²-11]，
=-$\frac{1}{6}$（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$）³+$\frac{11}{6}$（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$），
=-$\frac{1}{6}$x³+$\frac{11}{6}$x．
故答案为：$-\frac{1}{6}{x^3}+\frac{11}{6}x$．

点评 此题考查了分母有理化的知识与平方差公式的应用．题目难度较大，解题是要熟练应用公式与法则．