Question

3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC边所在的直线方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为（　　）

• A． y²=16x
• B． y²=8x
• C． y²=-16x
• D． y²=-8x

Answer 1

分析 设抛物线S的方程为y²=2px，将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合直线l与抛物线相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，结合根与系数的关系利用重心公式即可求得p值，从而求得抛物线方程．

解答 解：设抛物线S的方程为y²=2px．
由$\left\{\begin{array}{l}{4x+y-20=0}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得2y²+py-20p=0．
由△p²+160p＞0，得p＞0，或p＜-160．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{p}{2}$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=（5-\frac{{y}_{1}}{4}）+（5-\frac{{y}_{2}}{4}）$=10-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{4}$=10+$\frac{p}{8}$．
设A（x₃，y₃），由△ABC的重心为F（$\frac{p}{2}$，0），
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}}{3}=\frac{p}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{3}=0$，
∴${x}_{3}=\frac{11}{8}p-10$，${y}_{3}=\frac{p}{2}$．
∵点A在抛物线S上，
∴$（\frac{p}{2}）^{2}=2p（\frac{11}{8}p-10）$，解得p=8．
∴抛物线S的方程为y²=16x．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、恒过定点的直线、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想，属于中档题．