Question

15．已知可行域$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 3x+y≤4\\ x+3y≥4\end{array}\right.$，若直线$y=kx+\frac{4}{3}$将可行域所表示的图形的面积平分，则k的值为$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的区域，如图的阴影部分，直线$y=kx+\frac{4}{3}$过定点B（0，$\frac{4}{3}$），当其过对边中点M时，直线就将阴影部分一分为二，故问题转化为求中点P的坐标，于是先求出两点A，B，C的坐标，再由中点坐标公式求P的坐标，再由斜率的两点式求斜率即可．

解答 解：易知直线y=kx+$\frac{4}{3}$过点B（0，$\frac{4}{3}$），作出可行域$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 3x+y≤4\\ x+3y≥4\end{array}\right.$，由图可知，当直线经过线段AC的中点M时，平分可行域△ABC的面积，由解得点C（0，4），A（0，$\frac{4}{3}$），由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=4}\\{x+3y=4}\end{array}\right.$，可得B（1，1），
从而P为BC的中点（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），于是k=k_AP=$\frac{\frac{5}{2}-\frac{4}{3}}{\frac{1}{2}-0}$=$\frac{7}{3}$．
故答案为：$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查线性规划，考查不等式与区域的关系，中点坐标公式，训练依据图形进行分析转化的能力，数形结合综合性较强．