Question

12．在数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，其公比为q_k，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，设b_k=$\frac{1}{{q}_{k}-1}$．
（1）若d₁=2，求a₂的值；
（2）求证：数列{b_n}为等差数列；
（3）若q₁=2，设c_n=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得c₁、c_m、c_k成等比数列，若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，其公比为q_k，可得${a}_{2k}^{2}$=a_2k-1•a_2k+1，令k=1，可得${a}_{2}^{2}$=a₃．由a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，d₁=2，可得d₁=a₃-a₂=2，联立解出即可得出．
（2）b_n+1-b_n=$\frac{1}{{q}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{q}_{n}-1}$=$\frac{1}{\frac{{a}_{2n+2}}{{a}_{2n+1}}-1}$-$\frac{1}{\frac{{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}}-1}$，利用a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列；a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，代入化简整理可得=$\frac{{a}_{2n}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$-$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$=1，即可证明．
（3）q₁=2，b₁=1，b_n=n．可得c_n=$\frac{n}{n+1}$．假设存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得c₁、c_m、c_k成等比数列，则${c}_{m}^{2}$=c₁c_k，代入化简可得得k=$\frac{2{m}^{2}}{2m+1-{m}^{2}}$，对m分类讨论即可得出．

解答 （1）解：∵a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，其公比为q_k，
∴${a}_{2k}^{2}$=a_2k-1•a_2k+1，
令k=1，则${a}_{2}^{2}$=a₁•a₃，a₁=1，可得${a}_{2}^{2}$=a₃，
∵a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，
d₁=2，
∴d₁=a₃-a₂=2，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=-1}\\{{a}_{3}=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=2}\\{{a}_{3}=4}\end{array}\right.$．
∴a₂=-1或2．
（2）证明：b_n+1-b_n=$\frac{1}{{q}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{q}_{n}-1}$
=$\frac{1}{\frac{{a}_{2n+2}}{{a}_{2n+1}}-1}$-$\frac{1}{\frac{{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}}-1}$
=$\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{2n+2}-{a}_{2n+1}}$-$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$
=$\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{2n+1}-{a}_{2n}}$-$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$
=$\frac{\frac{{a}_{2n}^{2}}{{a}_{2n-1}}}{\frac{{a}_{2n}^{2}}{{a}_{2n-1}}-{a}_{2n}}$-$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$
=$\frac{{a}_{2n}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$-$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$=1，
∴数列{b_n}为等差数列，公差为1，首项为b₁=$\frac{1}{{q}_{1}-1}$．
（3）解：q₁=2，b₁=1，b_n=1+（n-1）=n．
c_n=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{n}{n+1}$，
假设存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得c₁、c_m、c_k成等比数列，则${c}_{m}^{2}$=c₁c_k，
∴$（\frac{m}{m+1}）^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{k}{k+1}$，
解得k=$\frac{2{m}^{2}}{2m+1-{m}^{2}}$，
当m=2时，k=8；当m≥3时，m²＞2m+1，k＜0，舍去．
因此只有：m=2，k=8时满足题意．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、递推关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．