Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=10，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，则{a_n}中第一个小于$\frac{1}{10000}$的数是（　　）

• A． a₁₂
• B． a₁₃
• C． a₁₄
• D． a₁₅
• E． a₁₆

Answer 1

分析 把已知的数列递推式两边取倒数，即可得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}是以$\frac{11}{10}$为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求出a_n后求解不等式得答案．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{{a}_{n}}+1$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+1=2（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∵$\frac{1}{{a}_{1}}+1=\frac{1}{10}+1=\frac{11}{10}≠0$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}是以$\frac{11}{10}$为首项，以2为公比的等比数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}+1=\frac{11}{10}•{2}^{n-1}=\frac{11•{2}^{n-2}}{5}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{11•{2}^{n-2}-5}{5}$，则${a}_{n}=\frac{5}{11•{2}^{n-2}-5}$．
由$\frac{5}{11•{2}^{n-2}-5}＜\frac{1}{10000}$，解得：n≥13，n∈N．
∴{a_n}中第一个小于$\frac{1}{10000}$的数是a₁₃．
故选：B．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了不等式的解法，是中档题．