Question

15．已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）．
（1）若a=4，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若存在x∈R，使f（x）≤4成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式即|x-1|+|x-4|≥5，通过去绝对值符号，列出不等式组，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．
（2）利用f（x）=|x-1|+|x-a|≥|a-1|，由题意可得|a-1|≤4，由此解得a的范围．

解答 解：（1）解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x-1|+|x-4|≥5，
等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{-2x+5≥5}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{3≥5}\end{array}\right.$，或  $\left\{\begin{array}{l}{x＞4}\\{2x-5≥5}\end{array}\right.$．
解得：x≤0或 x≥5．…（4分）
故不等式f（x）≥6的解集为 {x|x≤0，或 x≥5}；
（2）∵f（x）=|x-1|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|．（当x=1时等号成立）
所以：f（x）_min=|a-1|．…（8分）
由题意得：|a-1|≤4，解得：-3≤a≤5．…（10分）

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，考查分类讨论思想，属于中档题．