Question

10．已知曲线$y=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{4}{3}$．
（1）求曲线过点P（2，4）的切线方程；
（2）求满足斜率为1的曲线的切线方程．

Answer 1

分析 （1）设切点为（m，n），求出导数，求得切线的斜率，切线的方程，代入点P坐标，解方程可得切点的横坐标，进而得到切线的方程；
（2）设出切点，可得切线的斜率，求得切点的横坐标，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．

解答 解：（1）设切点为（m，n），
函数$y=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{4}{3}$的导数为y′=x²，
可得切线的斜率为k=m²，
切线的方程为y-n=m²（x-m），
即为y-$\frac{1}{3}$m³-$\frac{4}{3}$=m²（x-m），
代入点P，可得4-$\frac{1}{3}$m³-$\frac{4}{3}$=m²（2-m），
化简为m³-3m²+4=0，解得m=-1或2，
即有切线的斜率为1或4，
可得切线的方程为y=4x-4或y=x+2：
（2）设切点为（x₀，y₀），
可得切线的斜率为k=x₀²=1，
解得x₀=±1，切点为（1，$\frac{5}{3}$），（-1，1），
所求切线的方程为y-$\frac{5}{3}$=x-1或y-1=x+1，
即有3x-3y+2=0或x-y+2=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于中档题．