Question

1．设函数f（x）=|2x-1|-|x+2|．
（1）解不等式：f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x+2|≥|a-1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，
（2）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最小值的充要条件，即可求得．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，x≤-2}\\{-3x-1，-2＜x＜\frac{1}{2}}\\{x-3，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
当x≤-2时，由f（x）＞0得-x+3＞0，解得x≤-2，
当-2＜x＜$\frac{1}{2}$时，由f（x）＞0得-3x-1＞0，解得-2＜x＜-$\frac{1}{3}$，
当x≥$\frac{1}{2}$时，由f（x）＞0得x-3＞0，解得x＞3，
综上，得f（x）＞0的解集为{x|x＜-$\frac{1}{3}$或x＞3}；
（2）∵f（x）+3|x+2|=|2x-1|+2|x+2|=|1-2x|+|2x+4|≥|（1-2x）+（2x+4）|=5，
∴由题意可知|a-1|≤5，解得-4≤a≤6，
故所求a的取值范围是{a|-4≤a≤6}．

点评 本题主要考查含有绝对值不等式的解法，关键是去绝对值，需要分类讨论，属于中档题．