Question

6．某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个n排的等腰梯形阵，且这n排学生数按每排都比前一排
多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是（　　）

• A． 296
• B． 221
• C． 225
• D． 641

Answer 1

分析 由题意可得：$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}×1$=3125，化为2a₁=1-n+$\frac{6250}{n}$≥2，解得1≤n≤$\frac{\sqrt{25001}-1}{2}$，取n≤78．令f（x）=-x+$\frac{6250}{x}$，（x≥1），利用当时研究其单调性可得此函数单调递减．经过验证可得：当n=50时，2a₁=1-50+125=76，解得a₁=38．即可得出．

解答 解：由题意可得：$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}×1$=3125，化为2a₁=1-n+$\frac{6250}{n}$≥2，
解得1≤n≤$\frac{\sqrt{25001}-1}{2}$，取n≤78．
令f（x）=-x+$\frac{6250}{x}$，（x≥1），
f′（x）=-1-$\frac{6250}{{x}^{2}}$＜0，因此函数f（x）的单调递减，
当n=50时，2a₁=1-50+125=76，解得a₁=38．
∴a_n=38+（n-1）=n+37．
∴当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数=38+48+48+50+37=221．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、单调性、不等式解法、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．