Question

17．设函数f（x）=1-|2x-m|，x∈[0，1]．若函数f（x）图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，求曲线段y=f（f（x））的长度为$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 利用函数的对称性求出m，然后化简函数的解析式求解即可．

解答 解：函数f（x）=1-|2x-m|，x∈[0，1]．若函数f（x）图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，
可知函数在x=$\frac{1}{2}$时，函数取得最大值．可得1-m=0，m=1，
函数f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x∈[0，\frac{1}{2}）}\\{2-2x，x∈[\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，
y=f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{4x，x∈[0，\frac{1}{4}）}\\{4-4x，x∈[\frac{3}{4}，1]}\\{2-4x，x∈[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}）}\\{4x-2，x∈[\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）}\end{array}\right.$，
曲线段y=f（f（x））的长度为：4×$\sqrt{（\frac{1}{4}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查函数的解析式的求法，函数的图象的应用，考查分析问题解决问题的能力．