Question

15．如果一个函数f（x）在定义域D中满足：（1）任意x₁，x₂∈D，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$；（2）存在x₁，x₂∈D，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂），则f（x）可以是（　　）

• A． f（x）=x²+2x
• B． f（x）=cosx
• C． f（x）=2x-1
• D． f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）

Answer 1

分析 根据条件分别进行验证，依次进行判断即可．

解答 解：A．∵f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）-$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²+2×（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）-$\frac{1}{2}$x₁²-x₁-$\frac{1}{2}$x₂²-x₂=-$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4}$＜0恒成立，
即f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$；成立，满足条件．
B．f（x）=cosx的图象不满足条件．比如当x₁=0，x₂=$\frac{π}{2}$时，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=f（$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{1}{2}$（0+1）=$\frac{1}{2}$，不满足条件f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．
C．f（x）=2x-1为单调函数，不满足条件．
D．f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）为单调函数，不满足条件．
故选：A

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据定义转化为进行判断或者使用排除法是解决本题的关键．