Question

3．数轴上有2个点A、B，最初A在原点，B在坐标2的位置．规定如下，若投掷出来的硬币为正面，则A点坐标加上1，B点坐标不动；反之，若投掷出来的硬币是反面，则B点坐标加上1，A点坐标不动．求下列事件发生的概率
（1）硬币投4次，A的坐标为3的概率；
（2）A比B先到坐标4的概率；
（3）硬币投掷6次，A第一次追上B的概率．

Answer 1

分析 （1）硬币投4次，A的坐标为3，说明正面出现3次，反面出现1次，根据概率公式计算即可，
（2）分两种情况计算，情形①：最初连续投掷4次都是正面，情形②：前4次中有3次正面，1次反面，分别计算概率公式即可．
（3）设投掷6回硬币，其中正面的次数为x，当A第一次追上B时，第六次投掷出的为正面．前面5次共3个正面，2个反面，共10种情况，
但正正反反正正等的情况不符合要求．只有五种情况符合要求，根据概率公式计算即可．

解答 解：（1）硬币投4次，A的坐标为3，说明正面出现3次，反面出现1次，故所求概率C₄³（$\frac{1}{2}$）³×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$
（2）分两种情况：情形①：最初连续投掷4次都是正面，概率为（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$，
情形②：前4次中有3次正面，1次反面，此时A的坐标为3，B的坐标也为3，此时再掷一次，
A比B先到和A比B后到坐标4的概率相同，C₄³（$\frac{1}{2}$）³×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
综上所述A比B先到坐标4的概率为$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{16}$，
（3）设投掷6回硬币，其中正面的次数为x，则A点的坐标为x，B点的坐标为2+（6-x）．
当A追上B时，有x=2+（6-x），x=4．
当A第一次追上B时，第六次投掷出的为正面．前面5次共3个正面，2个反面，共10种情况，
但正正反反正正等的情况不符合要求．
只有下列五种情况符合要求：反反正正正正，反正反正正正，反正正反正正．正反反正正正，正反正反正正．
故所求概率为：5×（$\frac{1}{2}$）⁶×=$\frac{5}{64}$．

点评 本题考查了古典概率的问题，以及概率公式，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及学生的运算能力和转化能力，属于难题．