Question

已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）．

（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；

（2）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．

 

Answer 1

（1）；（2）的最小值为，最大值为1.

【解析】

试题分析：（1）先以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系，以与的大小关系进行分类讨论，从而即可得到动点所在的曲线；

（2）当时，其曲线方程为椭圆，设，， 的斜率为，则的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式），求得△AOB面积，最后求出面积的最大值即可，从而解决问题．

（1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系.若，即，动点所在的曲线不存在；若，即，动点所在的曲线方程为；若，即，动点所在的曲线方程为.……4分

(2)当时，其曲线方程为椭圆.由条件知两点均在椭圆上，且

设，， 的斜率为，则的方程为，的方程为解方程组，得，

同理可求得，

面积=

令则

令所以，即

当时，可求得,故，

故的最小值为，最大值为1.

考点：直线与圆锥曲线的综合问题.