Question

10．若三个单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则|3$\overrightarrow{a}$+4$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的最大值为（　　）

• A． 5+$\sqrt{2}$
• B． 3+2$\sqrt{2}$
• C． 8
• D． 6

Answer 1

分析 根据条件便可分别以OA，OB为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并可得出点A，B的坐标，设C（cosα，sinα），从而可以得出向量$3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$的坐标，并可得出$（3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）^{2}=-10sin（α+θ）+26$，这样即可求出$|3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|$的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$；
∴作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$；
∴分别以OA，OB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：
A（1，0），B（0，1），设C（cosα，sinα）；
∴$3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=3（1，0）+4（0，1）-（cosα，sinα）$=（3-cosα，4-sinα）；
∴$（3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）^{2}=9-6cosα+co{s}^{2}α$+16-8sinα+sin²a=-6cosα-8sinα+26
=-10sin（α+θ）+26，其中$tanθ=\frac{3}{4}$；
∴sin（α+θ）=-1时，$（3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）^{2}$取最大值36；
∴$|3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|$的最大值为6．
故选D．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，以及向量坐标的加法、减法和数乘运算，要求向量长度的最大值，而求向量平方最大值的方法，以及两角和的正弦公式，正弦函数的最大值．