Question

已知函数f（x）=ax³+|x-a|，a∈R．
（1）若a=-1，求函数y=f（x）（x∈[0，+∞）的图象在x=1处的切线方程；
（2）若g（x）=x⁴，试讨论方程f（x）=g（x）的实数解的个数；
（3）当a＞0时，若对于任意的x₁∈[a，a+2]，都存在x₂∈[a+2，+∞），使得f（x₁）f（x₂）=1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,根的存在性及根的个数判断,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出图象在x=1处的切线方程；
（2）若g（x）=x⁴，方程等价于x=a或

x＞a x=1

或

x＜a x=-1

，分类讨论，即可讨论方程f（x）=g（x）的实数解的个数；
（3）确定函数f（x）在（a，+∞）上是增函数，且f（x）＞f（a）=a⁴＞0，对任意的x₁∈[a，a+2]，都存在x₂∈[a+2，+∞），使得f（x₁）f（x₂）=1024，所以[

1024

f(a+2)

，

1024

f(a)

]⊆[f（a+2），+∞），即可得出结论．

解答： 解：（1）当a=-1，x∈[0，+∞）时，f（x）=-x³+x+1，从而f′（x）=-3x²+1．
当x=1时，f（1）=1，f′（1）=-2，
所以函数y=f（x） （x∈[0，+∞））的图象在x=1处的切线方程为y-1=-2（x-1），
即2x+y-3=0．                  …（3分）
（2）f（x）=g（x）即为ax³+|x-a|=x⁴．
所以x⁴-ax³=|x-a|，从而x³（x-a）=|x-a|．
此方程等价于x=a或

x＞a x=1

或

x＜a x=-1

   …（6分）
所以当a≥1时，方程f（x）=g（x）有两个不同的解a，-1；
当-1＜a＜1时，方程f（x）=g（x）有三个不同的解a，-1，1；
当a≤-1时，方程f（x）=g（x）有两个不同的解a，1．    …（9分）
（3）当a＞0，x∈（a，+∞）时，f（x）=ax³+x-a，f′（x）=3ax²+1＞0，
所以函数f（x）在（a，+∞）上是增函数，且f（x）＞f（a）=a⁴＞0．
所以当x∈[a，a+2]时，f（x）∈[f（a），f（a+2）]，

1024

f(x)

∈[

1024

f(a+2)

，

1024

f(a)

]，
当x∈[a+2，+∞）时，f（x）∈[f（a+2），+∞）．  …（11分）
因为对任意的x₁∈[a，a+2]，都存在x₂∈[a+2，+∞），使得f（x₁）f（x₂）=1024，
所以[

1024

f(a+2)

，

1024

f(a)

]⊆[f（a+2），+∞）．     …（13分）
从而

1024

f(a+2)

≥f（a+2）．
所以f ²（a+2）≤1024，即f（a+2）≤32，也即a（a+2）³+2≤32．
因为a＞0，显然a=1满足，而a≥2时，均不满足．
所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}．     …（16分）

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．