Question

已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于E，AB=2BE．
（Ⅰ）求证：BC=2BD；
（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC=2，EC=1，求BD的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：综合题,立体几何

分析：（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，即可证明BC=2BD；
（Ⅱ）先求DE，利用CD是∠ACB的平分线，可得DA=1，根据割线定理求出BD．

解答： （Ⅰ）证明：连接DE，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，
∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，
∴

BE

AB

=

BD

BC

，
又AB=2BE，∴BC=2BD          …（5分）                
（Ⅱ）由（Ⅰ）△DBE∽△CBA，知

BE

AB

=

ED

AC

，
又AB=2BE，∴AC=2DE，
∵AC=2，∴DE=1，而CD 是∠ACB 的平分线，∴DA=1，
设BD=x，根据割线定理得BD•BA=BE•BC
即x（x+1）=

1

2

（x+1）[

1

2

（x+1）+1]，
解得x=1，即BD=1     …（10分）

点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．