如图，椭圆
的左焦点为
，过点
的直线交椭圆于
两点.
的最大值是
，
的最小值是
，满足
.
(1) 求该椭圆的离心率；
(2) 设线段
的中点为
，
的垂直平分线与
轴和
轴分别交于
两点，
是坐标原点.记
的面积为
，
的面积为
，求
的取值范围.
（1）
；（2）
.
【解析】
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F点坐标，数形结合，根据椭圆的性质，得到
代入已知
中，得到
，计算出椭圆的离心率；第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到
和
，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围.
试题解析：(1) 设
，则根据椭圆性质得
而，所以有
，
即
，，因此椭圆的离心率为. （4分）
(2) 由(1)可知，
，椭圆的方程为
.
根据条件直线
的斜率一定存在且不为零，设直线
的方程为
，
并设
则由
消去
并整理得
从而有
， （6分）
.
因为
，所以
，
.
由
与
相似，所以
. （12分）
考点：椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题.
科目：高中数学 来源：2015届四川省内江市高二下学期期末考试数学试卷（解析版） 题型：填空题
一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为 ．
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科目：高中数学 来源：2015届四川成都树德中学高二3月月考文科数学试卷（解析版） 题型：选择题
已知
是椭圆
上的点，
分别是椭圆的左、右焦点，若
，则
的面积为( )
A．
B．
C．
D．
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科目：高中数学 来源：2015届吉林省长春市新高三起点调研考试理科数学试卷（解析版） 题型：选择题
过抛物线
的焦点
作直线与此抛物线相交于
、
两点，
是坐标原点，当
时，直线
的斜率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中数学 来源：2015届吉林省长春市新高三起点调研考试文科数学试卷（解析版） 题型：填空题
底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为
的正三棱柱外接球的表面积为__________.
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科目：高中数学 来源：2015届吉林省长春市新高三起点调研考试文科数学试卷（解析版） 题型：选择题
某圆的圆心在直线
上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为（ ）
A.
B.
C.或
D.或
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科目：高中数学 来源：2015届吉林省长春市高二下学期期末考试理科数学试卷（解析版） 题型：填空题
定义在
上的函数
满足：①当
时，
；②
.设关于
的函数
的零点从小到大依次为
.若
，则
.（用
表示）
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科目：高中数学 来源：2015届吉林省长春市高二下学期期中考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题
已知椭圆
过点
，且离心率为
.斜率为
的直线
与椭圆
交于
两点，以
为底边作等腰三角形，顶点为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）求
的面积．
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、
满足
，
，
，则 
（ ） 
B.3 C.
D.