Question

19．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{lg|x-2|}&{（x≠2）}\\ 1&{（x=2）}\end{array}}\right.$，若g（x）=[f（x）]²+bf（x）+c（其中b，c为常数）恰有5个不同的零点x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=（　　）

• A． 3lg2
• B． 2lg2
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 若g（x）=[f（x）]²+bf（x）+c（其中b，c为常数）恰有5个不同的零点x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则x₁，x₂，x₃，x₄，x₅中有三个数使f（x）=0，另两个关于x=2对称，则x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，代入可得答案．

解答 解：函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{lg|x-2|}&{（x≠2）}\\ 1&{（x=2）}\end{array}}\right.$的图象如下图所示：

若g（x）=[f（x）]²+bf（x）+c（其中b，c为常数）恰有5个不同的零点，
则g（x）=t²+bt+c有两个根，其中一个根为0，
即x₁，x₂，x₃，x₄，x₅中有三个数使f（x）=0，
另两个关于x=2对称，
故x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，
故f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=lg8=3ln2，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点与方程的根，数形结合思想，难度中档．