Question

1．如图，在直角梯形ABCD中AD∥BC．∠ABC=90°，AB=BC=2，DE=4，CE⊥AD于E，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面AD′C；
（Ⅱ）求平面D′AB与平面D′CE的所夹的锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知EC⊥AE，EC⊥D′E，EC⊥平面D′AE，EC⊥D′A，D′A⊥AE，D′A⊥平面ABCE，D′A⊥BE，BE⊥AC，由此能证明BE⊥平面AD′C．
（Ⅱ）取AB，AE，AD′分别x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面D′AB的法向量和平面D′CE的法向量，由此能求出平面D′AB与平面D′CE的所夹的锐二面角的大小．

解答 证明：（Ⅰ）∵EC⊥AE，EC⊥D′E，AE∩D′E=E，
∴EC⊥平面D′AE，
又D′A?平面D′AE，∴EC⊥D′A，
在△AD′E中，∵AD′=2$\sqrt{3}$，D′E=4，AE=2，
∴AD^'2+AE²=D′E²，∴D′A⊥AE，
又AE∩EC=E，∴D′A⊥平面ABCE，又BE?平面ABCE，
∴D′A⊥BE，
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，CE⊥AD，
∴ABCE为正方形，∴BE⊥AC，AC∩D′A=A，
∴BE⊥平面AD′C．
解：（Ⅱ）取AB，AE，AD′分别x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知面D′AB的法向量$\overrightarrow{AE}$=（0，2，0），
设平面D′CE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{DE}$=（0，2，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EC}$=（2，0，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2y-2\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=2x=0}\end{array}\right.$，取y=3，得$\overrightarrow{n}$=（0，3，$\sqrt{3}$），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{π}{6}$，
∴平面D′AB与平面D′CE的所夹的锐二面角的大小为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．