Question

1．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F（1，0），且点$P（{1，\frac{3}{2}}）$在椭圆C上，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件求出c=1，得到a²=b²+1．通过点$P（{1，\frac{3}{2}}）$在椭圆C上，得到$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，可解椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及x₁x₂+y₁y₂＞0．判别式的符号，求解k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意，得c=1，
所以a²=b²+1．
因为点$P（{1，\frac{3}{2}}）$在椭圆C上，
所以$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，可解得a²=4，b²=3．
则椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+16kx+4=0．
因为△=48（4k²-1）＞0，所以${k^2}＞\frac{1}{4}$，
由根与系数的关系，得${x_1}+{x_2}=\frac{-16k}{{4{k^2}+3}}，{x_1}{x_2}=\frac{4}{{4{k^2}+3}}$．
因为∠AOB为锐角，所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$，即x₁x₂+y₁y₂＞0．
所以x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）＞0，
即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0，$（{1+{k^2}}）•\frac{4}{{4{k^2}+3}}+2k•\frac{-16k}{{4{k^2}+3}}+4＞0$$\frac{{-12{k^2}+16}}{{4{k^2}+3}}＞0$
所以${k^2}＜\frac{4}{3}$．
综上$\frac{1}{4}＜{k^2}＜\frac{4}{3}$，
解得$-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}＜k＜-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜k＜\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
所以，所求直线的斜率的取值范围为$-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}＜k＜-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜k＜\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，范围问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．