Question

12．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，△ABC和△ABB₁都是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）过B₁作出三棱柱的截面，使截面垂直于AB，并证明；
（Ⅱ）求AC₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AB中点为O，连OC，OB₁，B₁C，则截面OB₁C为所求，通过证明AB⊥OC，AB⊥OB₁，推出AB⊥平面OB₁C．
（Ⅱ）以O为原点，OB方向为x轴方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面BCC₁B₁的一个法向量，入会利用空间向量的数量积求解AC₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）设AB中点为O，连OC，OB₁，B₁C，则截面OB₁C为所求，…（3分）

证明：OC，OB₁分别为△ABC，△ABB₁的中线，所以AB⊥OC，AB⊥OB₁，
又OC，OB₁为平面OB₁C内的两条相交直线，所以AB⊥平面OB₁C，…（6分）
（Ⅱ）以O为原点，OB方向为x轴方向建立如图所示的空间直角坐标系，
易求得B（1，0，0），A（-1，0，0），$C（0，\sqrt{3}，0），{B_1}（0，0，\sqrt{3}），{C_1}（-1，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$$\overrightarrow{CB}=（1，-\sqrt{3}，0），\overrightarrow{{B_1}B}=（1，0，-\sqrt{3}），\overrightarrow{A{C_1}}=（0，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，

…（8分）
设平面BCC₁B₁的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n⊥\overrightarrow{CB}\\ \overrightarrow n⊥\overrightarrow{{B_1}B}\end{array}\right.?\left\{\begin{array}{l}x-\sqrt{3}y=0\\ x-\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$解得平面BCC₁B₁的一个法向量为$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，1，1）$，…（10分）
$|cos＜\overrightarrow{A{C_1}}，\overrightarrow n＞|=\frac{{|\overrightarrow{A{C_1}}•\overrightarrow n|}}{{|\overrightarrow{A{C_1}}|•|\overrightarrow n|}}=\frac{{\sqrt{3}+\sqrt{3}}}{{\sqrt{6}•\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
所以AC₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．