Question

12．△ABC的三个内角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，若a=2，c=2$\sqrt{3}$，tanA+tanB=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$tanAtanB，则△ABC的面积S_△ABC=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知结合两角和的正确求得C，利用正弦定理求得A，则B可求，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：由tanA+tanB=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$tanAtanB，得tanA+tanB=$\sqrt{3}$（1-tanAtanB），
∴tan（A+B）=$\sqrt{3}$，即tanC=-$\sqrt{3}$．
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{2π}{3}$．
则sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由正弦定理可得：$\frac{2}{sinA}=\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{2}{3}π}$，得sinA=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{6}$．
则B=$π-\frac{2}{3}π-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ac•sinB=\frac{1}{2}$×$2×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查两角和的正切，考查正弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．