Question

17．如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，BQ∩AC=N，M是棱PC上的一点，PA=PD=4=AD=2BC，CD=2．
（Ⅰ）求证：直线MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四棱锥P-AQM的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PQ⊥AD，从而PQ⊥平面ABCD，以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MN∥平面PAB．
（Ⅱ）求出平面PAQ的法向量$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{QM}$，从而求出M到平面PAQ的距离d，四棱锥P-AQM的体积V_P-AQM=V_M-PAQ，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，2，0），N（0，1，0），
P（0，0，2$\sqrt{3}$），M（-1，1，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{MN}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（-2，0，2$\sqrt{3}$），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-2x+2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{3}，1$），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}$=$\sqrt{3}+0-\sqrt{3}$=0，MN?平面PAB，
∴直线MN∥平面PAB．
解：（Ⅱ）平面PAQ的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
$\overrightarrow{QM}$=（-1，1，$\sqrt{3}$），
M到平面PAQ的距离d=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QM}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1}}$=1，
S_△PAQ=$\frac{1}{2}×|PQ|×|AQ|$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$，
∴四棱锥P-AQM的体积：
V_P-AQM=V_M-PAQ=$\frac{1}{3}×{S}_{△PAQ}×d$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查几何体体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．