Question

9．数列{a_n}满足a₁=2，a_n-a_n-1=$\frac{1}{2^n}$（n≥2，n∈N^*），则a_n=$\frac{5}{2}$$-\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 根据累加法和等比数列的前n项和公式求出a_n即可．

解答 解：由题意a_n-a_n-1=$\frac{1}{2^n}$，
则当n≥2时，a₂-a₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$，a₃-a₂=$\frac{1}{{2}^{3}}$，…，a_n-a_n-1=$\frac{1}{2^n}$，
这n-1个式子相加，就有a_n-a₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n}}$，
即a_n=$\frac{5}{2}$$-\frac{1}{{2}^{n}}$，
当n=1时，a₁=1也满足上式，所以a_n=$\frac{5}{2}$$-\frac{1}{{2}^{n}}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$$-\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式，数列的递推关系式的应用，以及累加法求数列的通项公式，属于中档题．