Question

19．已知不等式$\frac{|x+3|-1}{2}$＞x的解集为（-∞，m）．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若关于x的方程|x-n|+|x+$\frac{1}{n}$|=m（n＞0）有解，求实数n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质得到关于n的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：$\frac{|x+3|-1}{2}$＞x，
故|x+3|-2x-1＞0，
故$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-（x+3）-2x-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-3}\\{x+3-2x-1＞0}\end{array}\right.$，
解得：x＜2，故m=2；
（Ⅱ）由题意得|x-n|+|x+$\frac{1}{n}$|=2有解，
∵|x-n|+|x+$\frac{1}{n}$|≥|（x-n）-（x+$\frac{1}{n}$）|=|n+$\frac{1}{n}$|=n+$\frac{1}{n}$≥2，
当且仅当n=1时”=“成立，
故n=1．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的性质，着重考查运算求解能力以及推理论证能力．