Question

8．已知A、B、C是抛物线y²=2px（p＞0）上三个不同的点，且AB⊥AC．
（Ⅰ）若A（1，2），B（4，-4），求点C的坐标；
（Ⅱ）若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由A（1，2）在抛物线上，求出p=2，设C（$\frac{{t}^{2}}{4}$，t），则由k_ABk_AC=-1，解得t=6，由此能求出C点坐标．
（Ⅱ）设A（x₀，y₀），B（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}，{y}_{1}$），C（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}，{y}_{2}$），则直线BC的方程为（y₁+y₂）（y+y₀）=2p（x-2p-x₀），从而直线BC恒过点E（x₀+2p，-y₀），直线AE的方程为y=-$\frac{{y}_{0}}{p}$（x-x₀）+y₀，代入抛物线方程，得D（$\frac{2p（{x}_{0}+p）^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}$，-$\frac{2p（{x}_{0}+p）}{{y}_{0}}$），利用线段AD总被直线BC平分，能求出点A的坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵A（1，2）在抛物线y²=2px（p＞0）上，∴p=2，
设C（$\frac{{t}^{2}}{4}$，t），则由AB⊥AC，得k_ABk_AC=-1，
∵A（1，2），B（4，-4），k_ABk_AC=-1，
∴k_ABk_AC=$\frac{2+4}{1-4}$×$\frac{2-t}{1-\frac{{t}^{2}}{4}}$=-1，
解得t=6，即C（9，6）．
（Ⅱ）设A（x₀，y₀），B（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}，{y}_{1}$），C（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}，{y}_{2}$），
则直线BC的方程为（y₁+y₂）（y+y₀）=2p（x-2p-x₀），
故直线BC恒过点E（x₀+2p，-y₀），
∴直线AE的方程为y=-$\frac{{y}_{0}}{p}$（x-x₀）+y₀，
代入抛物线方程y²=2px（p＞0），得点D的坐标为（$\frac{2p（{x}_{0}+p）^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}$，-$\frac{2p（{x}_{0}+p）}{{y}_{0}}$），
∵线段AD总被直线BC平分，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2（{x}_{0}+2p）={x}_{0}+\frac{2p（{x}_{0}+p）^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}}\\{-2{y}_{0}={y}_{0}-\frac{2p（{x}_{0}-p）}{{y}_{0}}}\end{array}\right.$，解得${x}_{0}=\frac{p}{2}，{y}_{0}=±p$，
∴点A的坐标A（$\frac{p}{2}，±p$）．

点评 本题考查点的坐标的求法，考查抛物线、直线的斜率、韦达定理、中点坐标公式、直线与直线垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．