Question

18．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[-2，0]时，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-1$，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． （1，$\root{3}{4}$）
• D． （$\root{3}{4}$，2）

Answer 1

分析 利用f（x）的奇偶性和周期性，作出f（x）的函数图象，根据交点个数列不等式组，即可得出a的范围．

解答 解：∵f（x）=f（x+4），∴f（x）周期为4，
利用f（x）的奇偶性和周期性作出f（x）的函数图象如下：

∵关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）在区间（-2，6]内恰有三个不同的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4＜3}\\{lo{g}_{a}8＞3}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得$\root{3}{4}$＜a＜2．
故选D．

点评 本题考查了方程根与函数图象的关系，对数的运算性质，属于中档题．