Question

8．等差数列{a_n}中，|a₃|=|a₉|，公差d＜0，则使前n项和S_n取得最大值的正整数n的值是5或6，使前n项和S_n＞0的正整数n的最大值是10．

Answer 1

分析 由题意，公差d＜0，等差数列{a_n}是递减数列，|a₃|=|a₉|，即a₃=-a₉，可得a₃+a₉=0，即可前n项和S_n取得最大值的正整数n的值和前n项和S_n＞0的正整数n的值．

解答 解：由题意，公差d＜0，等差数列{a_n}是递减数列，|a₃|=|a₉|，即a₃=-a₉，可得a₃+a₉=0，
∵a₃+a₉=2a₆，
∴a₆=0，
∴等差数列{a_n}的前5项是正项，第6项为0．
则前n项和S_n取得最大值的正整数n的值为：5或6．
又∵${S}_{11}=\frac{（{a}_{1}+{a}_{11}）11}{2}=\frac{11（{a}_{3}+{a}_{9}）}{2}$=0，
∴使前n项和S_n＞0的正整数n的最大值是：10．

点评 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和的应用，是基础题．