Question

5．已知在平面直角坐标系xOy中，过点P（1，0）的直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C点的极坐标方程为ρ=-4sin（θ-$\frac{π}{6}$）．
（1）判断直线l与曲线C的位置关系；
（2）若直线l与曲线C交于两点A、B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是参数），消去参数t可得普通方程．曲线C点的极坐标方程为ρ=-4sin（θ-$\frac{π}{6}$），即ρ²=-4ρsin（θ-$\frac{π}{6}$），利用互化公式可得直角坐标方程．求出圆心到直线l的距离d，与半径r比较可得直线l与曲线C的位置关系．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是参数），代入圆C的方程可得：t²+$\sqrt{3}$t-1=0．可得|PA|•|PB|=|t₁t₂|．

解答 解：（1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是参数），消去参数t可得普通方程：x-$\sqrt{3}$y-1=0．
曲线C点的极坐标方程为ρ=-4sin（θ-$\frac{π}{6}$），即ρ²=-4ρsin（θ-$\frac{π}{6}$），可得直角坐标方程：x²+y²+4×$（\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{1}{2}x）$=0，
配方为（x-1）²+$（y+\sqrt{3}）^{2}$=4，可得圆心C（1，-$\sqrt{3}$），半径r=2．
圆心到直线l的距离d=$\frac{|1+\sqrt{3}×\sqrt{3}-1|}{2}$=$\frac{3}{2}$＜2=r．
∴直线l与曲线C的位置关系是相交．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是参数），代入圆C的方程可得：t²+$\sqrt{3}$t-1=0．
∴t₁t₂=-1．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=1．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标互化的公式、圆的标准方程、点到直线的距离公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．