Question

5．已知抛物线x²=4y，直线l的方程y=-2，动点P在直线l上，过P点作抛物线的切线，切点分别为A，B，线段A，B的中点为Q
（Ⅰ）求证：直线AB恒过定点；
（Ⅱ）求Q点轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设Q（t，-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由y′=$\frac{1}{2}$x，利用导数的几何意义求出在点A处的切线方程为y=$\frac{1}{2}$x₁x-y₁．在点B处的切线方程为y=$\frac{1}{2}$x₂x-y₂．从而点A，B都满足方程-2=$\frac{1}{2}$tx-y，由此能证明直线AB恒过定点（0，2）．
（Ⅱ）设Q（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入x²=4y，利用点差法能求出Q点轨迹方程．

解答 证明：（Ⅰ）设Q（t，-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵y=$\frac{1}{4}$x²，∴y′=$\frac{1}{2}$x．
∴在点A处的切线方程为y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），化为y=$\frac{1}{2}$x₁x-y₁．
同理在点B处的切线方程为y=$\frac{1}{2}$x₂x-y₂．
∵点Q（t，-2）在两条切线上．
∴点A，B都满足方程-2=$\frac{1}{2}$tx-y，
∴直线AB恒过定点（0，2）．
解：（Ⅱ）设Q（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入x²=4y，
得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}=4{y}_{1}}\\{{{x}_{2}}^{2}=4{y}_{2}}\end{array}\right.$，两式相减，得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=4（y₁-y₂），
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2x}{4}$=$\frac{1}{2}x$，
∵直线AB过Q（x，y），（0，2），∴k=$\frac{y-2}{x}$，
∴$\frac{1}{2}x=\frac{y-2}{x}$，整理，得：x²-2y+4=0，
当直线AB的斜率不存在时，上式也成立，
∴Q点轨迹方程为x²-2y+4=0．

点评 本题考查直线恒过定点的证明，考查点的轨迹方程的求法，考查抛物线、导数的几何意义、点差法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．