Question

7．如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°
（1）求证：平面PCBM⊥平面ABC；
（2）求三棱锥B-MAC的体积．

Answer 1

分析 （1）通过证明PC⊥平面ABC得出平面PCBM⊥平面ABC；
（1）取BC的中点为O，连接MO，则可证OM⊥平面ABC，∠AMO=60°，从而求得OM的长，代入棱锥的体积公式V_B-CMA=V_M-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•OM$计算即可．

解答 证明：（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，
∴PC∩平面ABC，又PC?平面PCBM，
∴平面PCBM⊥平面ABC．
（2）取BC的中点为O，连接MO．
∵PM∥BC，又PM=$\frac{1}{2}$BC，
∴四边形PMOC为平行四边形，
∴PC∥MO，
∵PC⊥平面ABC，
∴MO⊥平面ABC，∠AMO为AM与PC所成的角．即∠AMO=60°，
∵AC=CO=1，∠ACO=120°，
∴AO=$\sqrt{3}$，∴OM=1，
∴V_B-CMA=V_M-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•OM$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定定理，棱锥的体积计算，属于中档题．