Question

设常数a＞0，若9x+

a2

x

≥a²-7对一切的正实数x均成立，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由题设9x+

a2

x

≥a²-7对一切的正实数x均成立可转化为（9x+

a2

x

）_min≥a²-7，利用基本不等式判断出9x+

a2

x

≥6a，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围．

解答： 解：常数a＞0，若9x+

a2

x

≥a²-7对一切正实数x成立，
故（9x+

a2

x

）_min≥a²-7，
∵9x+

a2

x

≥6a，当且仅当9x=

a2

x

，即x=

a

3

时，等号成立
∴6a≥a²-7，
∴a＞0，
∴0＜a≤7，
故答案为：（0，7]．

点评：本题考查了基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化，转化为（9x+

a2

x

）_min≥a²-7是解题的关键．