Question

16．当k为何值时，x²-（k+1）x+2k-1=0的根
（1）都在（1，4）内；
（2）一个大于4，另一个小于4；
（3）都小于2？

Answer 1

分析 令f（x）=x²-（k+1）x+2k-1，
（1）若x²-（k+1）x+2k-1=0的根都在（1，4）内；则$\left\{\begin{array}{l}△=（k+1）^{2}-4（2k-1）≥0\\ 1＜\frac{k+1}{2}＜4\\ f（1）=k-1＞0\\ f（4）=11-2k＞0\end{array}\right.$解得k的取值范围；
（2）若x²-（k+1）x+2k-1=0的根一个大于4，另一个小于4；则$\begin{array}{c}f（4）=11-2k＜0\end{array}\right.$，解得k的取值范围；
（3）若x²-（k+1）x+2k-1=0的根都小于2，则$\left\{\begin{array}{l}△={（k+1）}^{2}-4（2k-1）≥0\\ \frac{k+1}{2}＜2\end{array}\right.$，解得k的取值范围．

解答 解：令f（x）=x²-（k+1）x+2k-1，
（1）若x²-（k+1）x+2k-1=0的根都在（1，4）内；
则$\left\{\begin{array}{l}△=（k+1）^{2}-4（2k-1）≥0\\ 1＜\frac{k+1}{2}＜4\\ f（1）=k-1＞0\\ f（4）=11-2k＞0\end{array}\right.$
解得：k∈[5，$\frac{11}{2}$）
（2）若x²-（k+1）x+2k-1=0的根一个大于4，另一个小于4；
则$\begin{array}{c}f（4）=11-2k＜0\end{array}\right.$，
解得：k∈（$\frac{11}{2}$，+∞）
（3）若x²-（k+1）x+2k-1=0的根都小于2，
则$\left\{\begin{array}{l}△={（k+1）}^{2}-4（2k-1）≥0\\ \frac{k+1}{2}＜2\end{array}\right.$，
解得：k∈（-∞，1]

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点与方程根的关系，难度中档．