Question

6．已知函数$f（x）=sin\frac{ωx}{2}cos（\frac{ωx}{2}+\frac{π}{4}）-cos\frac{ωx}{2}sin（\frac{ωx}{2}-\frac{π}{4}）$（x∈R）的最小正周期为π．
（1）确定ω的值；
（2）求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据三角恒等变换化简f（x），得到f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$），结合函数的周期性求出ω的值即可；
（2）求出函数f（x）在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上的单调性，从而求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）$f（x）=sin\frac{ωx}{2}cos（\frac{ωx}{2}+\frac{π}{4}）-cos\frac{ωx}{2}sin（\frac{ωx}{2}-\frac{π}{4}）$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$-sin²$\frac{ωx}{2}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos$\frac{ωx}{2}$sin$\frac{ωx}{2}$-cos²$\frac{ωx}{2}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos²$\frac{ωx}{2}$-sin²$\frac{ωx}{2}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosωx，
∵最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
（2）f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x，
x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$，2x∈[-$\frac{π}{2}$，π]，
f（x）在[-$\frac{π}{4}$，0]上是增函数，在[0，$\frac{π}{2}$]是减函数，
f（-$\frac{π}{4}$）=0，f（0）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的化简问题，考查三角函数的性质，是一道中档题．