Question

14．已知圆M：${x^2}+{y^2}-2\sqrt{3}x=0$的圆心是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的右焦点，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆M相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上有两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），OA、OB斜率之积为$-\frac{1}{4}$，求$x_1^2+x_2^2$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心坐标为$M（\sqrt{3}，0）$，通过$c=\sqrt{3}，{a^2}-{b^2}=3$，求出椭圆的左焦点坐标，设直线l的方程为：$y=k（x+\sqrt{3}）$，利用直线l与圆相切求出K，得到直线l的方程与椭圆方程．
（Ⅱ）通过点的坐标满足椭圆方程，结合OA、OB斜率之积为$-\frac{1}{4}$，推出x₁x₂+4y₁y₂=0，转化求解${y_1}^2+{y_2}^2=1$，然后求出结果．

解答 解：（Ⅰ） 圆${x^2}+{y^2}-2\sqrt{3}x=0⇒{（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=3$
圆心坐标为$M（\sqrt{3}，0）$，∴$c=\sqrt{3}，{a^2}-{b^2}=3$
过椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左焦点$F（-\sqrt{3}，0）$和上顶点的直线l的斜率显然大于0，可设直线l的方程为：$y=k（x+\sqrt{3}）$，因为直线l与圆相切，∴$\frac{{|{\sqrt{3}k-0+\sqrt{3}k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{3}$，
∴$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，又∵k＞0
∴直线l的方程为：$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x+\sqrt{3}）$，
∴$b=1，{a^2}=4∴C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x²+4y²=4，有${x_1}^2+4{y_1}^2=4$，${x_2}^2+4{y_2}^2=4$，
由OA、OB斜率之积为$-\frac{1}{4}$可得，x₁x₂+4y₁y₂=0，∵${x_1}^2=4-4{y_1}^2$${x_2}^2=4-4{y_2}^2$，
∴${x_1}^2•{x_2}^2=（4-4{y_1}^2）•（4-4{y_2}^2）$=$16-16{y_2}^2-16{y_1}^2+16{y_1}^2{y_2}^2$，
∴${x_1}^2•{x_2}^2-16{y_1}^2{y_2}^2=16-16{y_2}^2-16{y_1}^2$${x_1}^2•{x_2}^2-16{y_1}^2{y_2}^2=（{x_1}{x_2}+4{y_1}{y_2}）•（{x_1}{x_2}-4{y_1}{y_2}）=0∴16-16{y_2}^2-16{y_1}^2=0$，${y_1}^2+{y_2}^2=1$，
∴${x_1}^2+{x_2}^2=8-4（{y_1}^2+{y_2}^2）=4$…（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，难度比较大．