Question

19．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为$4\sqrt{5}$，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PB}$．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$，求m²的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆E的方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，通过离心率$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，以及a，b，c的关系，利用以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为$4\sqrt{5}$，求出a，b，即可得到椭圆E的方程．
（Ⅱ） 求出P（0，m），设A（x₁，kx₁+m），B（x₂，kx₂+m），通过直线与椭圆方程联立，利用△＞0，推出不等式，k²-m²+4＞0．由$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$，得到${k^2}=\frac{{4-{m^2}}}{{{m^2}-1}}$，然后求解m²的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）根据已知设椭圆E的方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，焦距为2c，由已知得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$c=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，{b^2}={a^2}-{c^2}=\frac{a^2}{4}$．…（3分）
∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为$4\sqrt{5}$，∴$4\sqrt{{a^2}+{b^2}}=2\sqrt{5}a=4\sqrt{5}$，
∴a=2，b=1．
∴椭圆E的方程为${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．…（6分）
（Ⅱ） 根据已知得P（0，m），设A（x₁，kx₁+m），B（x₂，kx₂+m），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ 4{x^2}+{y^2}-4=0\end{array}\right.$得（k²+4）x²+2mkx+m²-4=0，
由已知得△=4m²k²-4（k²+4）（m²-4）＞0，
即k²-m²+4＞0．且${x_1}+{x_2}=\frac{-2km}{{{k^2}+4}}，{x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{{{k^2}+4}}$．…（9分）
由$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$得-x₁=3x₂，即x₁=-3x₂．
∴$3{（{{x_1}+{x_2}}）^2}+4{x_1}{x_2}=0$，
∴$\frac{{12{k^2}{m^2}}}{{{{（{{k^2}+4}）}^2}}}+\frac{{4（{{m^2}-4}）}}{{{k^2}+4}}=0$，即m²k²+m²-k²-4=0．当m²=1时，m²k²+m²-k²-4=0不成立．
∴${k^2}=\frac{{4-{m^2}}}{{{m^2}-1}}$，∵k²-m²+4＞0，∴$\frac{{4-{m^2}}}{{{m^2}-1}}-{m^2}+4＞0$，即$\frac{{（{4-{m^2}}）{m^2}}}{{{m^2}-1}}＞0$．
∴1＜m²＜4，
所以m²的取值范围为（1，4）．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．