Question

9．营养师要为儿童预定午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳税化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含有8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C，另外，这两餐需要的营养中至少含有64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个维生素C．
（Ⅰ）根据已知数据填写如表：

营养成分	碳水化合物/单位	蛋白质/单位	维生素C/单位
午餐
晚餐

（Ⅱ）已知一个单位的午餐，晚餐的费用分别是4元和5元，若预定x个单位的午餐和y个单位的晚餐，共花费z元，请列出满足上述营养要求的不等式组及目标函数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，并且花费最少，应分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

Answer 1

分析 （Ⅰ）画出表格填写即可；（Ⅱ）根据题意列出满足营养要求的不等式组及目标函数即可；
（Ⅲ）利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．

解答 解：（Ⅰ）

营养成分	碳水化合物/单位	蛋白质/单位	维生素/单位
午餐	12	6	6
晚餐	8	6	10

（Ⅱ）由题意知约束条件为：$\left\{\begin{array}{l}{12x+8y≥64}\\{6x+6y≥42}\\{6x+10y≥54}\\{x＞0，x{∈N}^{*}}\\{y＞0，y{∈N}^{*}}\end{array}\right.$，
目标函数为：z=4x+5y，
（Ⅲ）画出可行域如图：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=27}\\{x+y=7}\end{array}\right.$，解得A（4，3），
变换目标函数：
把z=4x+5y变形为y=-$\frac{4}{5}$x+$\frac{z}{5}$，
其中$\frac{z}{5}$是这条直线在y轴上的截距，
当目标函数过点A，即直线6x+6y=42与6x+10y=54的交点（4，3）时，z取得最小值，
z_min=4x+5y=31，
即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．

点评 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．