Question

3．已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$，则AC边的最小值2．

Answer 1

分析 由条件利用等差数列的定义求得B=$\frac{π}{3}$，再利用三角形的面积公式求得ac=4，再利用余弦定理，基本不等式即可求得AC边的最小值．

解答 解：△ABC中，A、B、C成等差数列，故2B=A+C，故B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$．
∵△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•ac•sinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=$\sqrt{3}$，
∴ac=4，
∴AC²=b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=4，（当且仅当a=c时等号成立）
∴AC边的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查等差数列的定义，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想的应用，属于基础题．