Question

15．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $\frac{1}{9}$
• D． $\frac{3}{20}$

Answer 1

分析 方法一：由题意，“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类，求取种数，再满足其前提下，学生C第一个出场顺序也为两类，再根据概率公式计算即可，
方法二：直接根据分步计数原理，可得，再根据概率公式计算即可．

解答 解：方法一：“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类．
第一类：A最后一个出场，从除了B之外的3人选1人安排第一个，其它的任意排，故有A₃¹A₃³=18种，
第二类：A不是最后一个出场，从除了A，B之外的3人选2人安排在，第一个或最后一个，其余3人任意排，故有A₃²A₃³=36种，
故学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场的种数18+36=54种，
“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的”的出场顺序为：分为两类
第一类：学生C第一个出场，A最后一个出场，故有A₃³=6种，
第二类：学生C第一个出场，A不是最后一个出场，从除了A，B之外的2人选1人安排在最后一个，其余3人任意排，故有A₂¹A₃³=12种，
故在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的种数6+12=18种，
故学生C第一个出场的概率为$\frac{18}{54}$=$\frac{1}{3}$，
方法二：先排B，有A₃¹（非第一与最后），再排A有A₃¹（非第一）种方法，其余三个自由排，共有A₃¹A₃¹A₃³=54这是总结果；
学生C第一个出场，先排B，有A₃¹（非第一与最后），再排A有A₃¹，C第一个出场，剩余2人自由排，故有A₃¹A₃¹A₂²=18种，
故学生C第一个出场的概率为$\frac{18}{54}$=$\frac{1}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查了分类计数原理和古典概率的问题，关键是分类求出相应条件的顺序，属于中档题．