Question

13．在如图所示的几何体中．EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点．
（Ⅰ）求证：DM⊥平面EMC；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得，平面ABDE⊥平面ABC，结合AC=BC，M为AB的中点证得CM⊥DM，再求解直角三角形得到EM、MD、ED的长度，利用勾股定理可得DM⊥EM，再由线面垂直的判定得答案；
（Ⅱ）直接利用四棱锥的体积公式求得多面体ABCDE的体积．

解答 （Ⅰ）证明：如图
∵AC⊥BC，且AC=BC=2，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∵EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，
∴EA∥DB，且EA⊥AB，DB⊥AB，
过E作EF⊥BD，垂足为F，
则EF=AB，
又BD=2AE=2，
∴DF=1，
在Rt△EFD中，可得$E{D}^{2}=E{F}^{2}+F{D}^{2}=（2\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}=9$，
∵M是AB的中点，
∴AM=MB=$\sqrt{2}$，
在Rt△EAM中，由EA=1，AM=$\sqrt{2}$，得EM²=3，
在Rt△DBM中，由DB=2，BM=$\sqrt{2}$，得DM²=6，
∴EM²+DM²=ED²，
∴DM⊥EM，
又EA⊥平面ABC，
∴平面ABDE⊥平面ABC，
∵AC=BC，M为AB中点，
∴CM⊥AB，则CM⊥平面ABDE，
∴CM⊥DM，则DM⊥面EMC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得直角梯形ABDE的面积为$\frac{1}{2}（1+2）×2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，
四棱锥C-ABDE的高为CM=$\sqrt{2}$，
∴多面体ABCDE的体积即四棱锥C-ABDE的体积等于$\frac{1}{3}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了棱锥体积的求法，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．