Question

8．已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据三角恒等变换化简f（x），求出f（x）的最小正周期即可；（2）求出函数的单调区间，从而求出函数的值域．

解答 解：（1）f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1
=2cosxsinx-2cosxcosx+1
=sin2x-cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{4}$π]，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
解得：kπ+$\frac{3}{8}$π≤x≤kπ+$\frac{7}{8}$π，
∴f（x）在[0，$\frac{3}{8}$π]递增，在[$\frac{3}{8}$π，$\frac{1}{2}$π]递减，
显然x=$\frac{3}{8}$π时，f（x）最大，最大值是$\sqrt{2}$，
x=0时，f（x）最小，最小值是-1，
故f（x）的值域是[-1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了三角函数的周期及值域，考查三角恒等变换问题，是一道中档题．