Question

 已知数列{a_n}前n项和为S_n，且a₂a_n＝S₂＋S_n对一切正整数都成立．

(1) 求a₁，a₂的值；

(2) 设a₁＞0，数列前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出最大值．

Answer 1

解：(1) 取n＝1时，a₂a₁＝S₂＋S₁＝2a₁＋a₂，①

取n＝2时，a＝2a₁＋2a₂.　②

由②－①得，a₂(a₂－a₁)＝a₂.　③

若a₂＝0，由①知a₁＝0；

若a₂≠0，由③知a₂－a₁＝1.　④

由①④解得a₁＝＋1，a₂＝2＋或a₁＝1－，a₂＝2－.　

综上所述，a₁＝0，a₂＝0或a₁＝＋1，a₂＝＋2或a₁＝1－，a₂＝2－.

(2) 当a₁＞0时，a₁＝＋1，a₂＝＋2.

n≥2时，有(2＋)a_n＝S₂＋S_n，

(2＋)a_n－1＝S₂＋S_n－1，

∴  (1＋)a_n＝(2＋)a_n－1，

即a_n＝a_n－1(n≥2)，

∴  a_n＝a₁()^n－1＝(＋1)()^n－1.

令，

故{b_n}是递减的等差数列，从而b₁＞b₂＞…＞b₇＝lg＞lg1＝0，

n≥8时，b_n≤b₈＝＝0，

故n＝7时，T_n取得最大值，T₇＝7－lg2.